Визначення маси і густини Землі.

За законом всесвітнього тяжіння сила взаємодії двох мас Якщо відома сила , з якою взаємодіють дві маси, і величина однієї з цих мас, то, знаючи відстань між центрами мас, можна визначити величину другої маси за формулою Кулька, масаякої , притягається до Землі з силою . Відстань між центром кульки й центром Землі дорівнює приблизно а , отже ми можемо обчислити масу Землі

А через те, що об'єм Землі становить , то густина Землі

49. Залежність прискорення від широти місця.

Сила тяжіння є окремий випадок всесвітнього тяжіння. Якщо маса будь якого тіла то, позначаючи масу Землі буквою і радіус Землі буквою , ми можемо визначити, з якою силою дане тіло притягається Землею :

Сила є вага тіла , то:

звідки:

Прискорення сили тяжіння обернено пропорційне до квадрата відстані від центра Землі.

Якщо тіло підноситься над Землею, то відстань від центра Землі збільшується, і величина зменшується. При піднятті на висоту Ейфелевої башти (300 м) величина зменшиться на .

А через те, що Земля не є геометрична куля, а формою близька до сплющеного еліпсоїда, при чому біля полюсів відстань від центра Землі до рівня моря становить 6357 км, на екваторі 6378 км то величина змінюється відповідно до широти. На екваторі менше, ніж біля полюсів.

Наслідком обертання Землі навколо осі на всі тіла, що є на Землі, діє відцентрова сила, спричинювана цим обертанням. Величина відцентрового прискорення пропорціональна радіусові. Місця земної поверхні, що лежать на різних широтах, неоднаково віддалені від осі обертання Землі; наслідком цього відцентрове прискорення збільшується від полюсів (де воно дорівнює нулеві) до екватора, де воно становить .

За нормальне прискорення умовно вважаємо прискорення вільного падання тіла, що дорівнює . Одиниця сили 1 кг є сила, з якою Земля притягує масу в 1 кг й надає їй нормальне прискорення .

За законом всесвітнього тяжіння сила ваги має бути напрямлена до центра Землі. Відцентрова сила, що виникає при обертанні Землі і що її напрям тільки на екваторі зливається з напрямом радіуса Землі, трохи відхиляє напрям сили, що діє на тіла біля поверхні Землі.

На полюсах і на екваторі відхилення дорівнює 0. На широті воно становить .

Напрям рівнодійної сили тяжіння і відцентрової сили називають вертикальним напрямом і визначають виском.

Запитання та вправи

1. У чому суть закону всесвітнього тяжіння?

2. Що називають гравітаційною сталою?

3. Яка величина гравітаційної сталої і що вона означає?

4. Яким дослідом визначено гравітаційну сталу ?

5. З якою силою притягаються одна до одної дві свинцеві кулі, радіуси яких 5 см, якщо від відстань між ними 0,3 см (Густина свинцю 11,3).

6. Як визначають масу Землі?

7. Жоллі, щоб визначити залежність сили притягання від відстані, злагодив терези з двома парами шальок (рис. 46). Одна пара шальок висіла на 5 м нижче другої пари. Зрівноваживши вантажі на верхніх шальках, Жоллі один з вантажів переносив на нижню шальку, при чому терези виходили з рівноваги. З'ясувати чому терези виходили з рівноваги. Яка шалька переважувала?

8. Визначити масу Сонця за такими даними: маса Землі , відстань Землі від Сонця і період обігу Землі навколо Сонця — 1 рік.

9. З якою швидкістю треба кинути снаряд в горизонтальному напрямі, щоб він не впав на Землю, а почав оббігати навколо Землі колом? (На опір повітря не зважати).

VI. СТАТИКА

Графічне зображення сил.

Сили, що діють на тіло, можуть відрізнятися одна від одної і величиною, і напрямом. Штовхаючи з більшою чи меншою силою футболь ний м'яч, ми надаємо йому більшої або меншої швидкості. Залежно від на­пряму діючої сили футбольний м'яч летить у тому чи іншому напрямі. Має також значення точка прикладання сили — точка тіла, на яку діє сила. Справді, якщо ми прив'яжемо мотузку в точці маховика (рис. 47) і натягатимемо її в напрямі , то маховик повернеться. Навпаки, якщо ми прив'яжемо мотузку в точці і з такою силою тягтимемо її в тому самому напрямі, то такого руху маховика не буде.

Щоб визначити силу, ми повинні знати: 1) величину сили, 2) її напрям, 3) точку її прикладання.

Точку прикладання сили можна перенести в будь-яку точку тіла в напрямі сили. Ми можемо надати руху маховикові, якщо прив'яжемо в точці довшу мотузку і тягтимемо її за кінець у попередньому напрямі, або прикріпимо до точки шток і штовхатимемо цей шток у тому таки напрямі . Паровоз, що тягне поїзд, можна причепити і на початку поїзда, і в його хвості, і всередині, при цьому дія сили не зміниться.

Сили, як векторні величини, зображуються різної величини відрізками прямої з стрілкою на кінці. Починається відрізок у точці прикладання сили (рис. 47).

Коли на тіло діє яка-небудь одна сила, то воно рухається в напрямі прикладеної сили. Якщо на тіло діє не одна, а дві або кілька сил у різних напрямах, то тіло або залишається в спокої, або набуває руху, який може спричинити одна сила в якомусь цілком певному напрямі.

Сила, що діє на тіло так само, як дві або кілька сил, взятих разом, називається рівнодійною даних сил.

Ті сили, що ми замінюємо рівнодійною силою, називаються складовими.

Відшукання рівнодійної за даними складовими називають додаванням сил.

Розглянемо на прикладі, як додавати сили, що діють на тіло в напрямі однієї прямої.

Приклад 1. Поїзд рухається подвійною тягою. Сила тяги одного з паровозів дорівнює кг, другого кг. Знайти рівно дійну сил і

Розв'язання. Рівнодійна тобто сумі сил скла­дових.

Приклад 2. Камінь, що важить кг, падає у повітрі. Опір повітря — кг. Знайти рівнодійну сил ваги й опору.

Розв'язання. Очевидно, у даному разі — тобто рівнодійна дорівнює різниці сил складових і йде в напрямі більшої сили.

Рівнодійна двох або кількох сил, що діють на напрямі тієї самої прямої лінії, дорівнює алгебричній сумі сил складових.

52. Додавання двох сил, прикладених до однієї точки під кутам одна до одної.

Вправа.

1. Нарисувати такий випадок додавання двох сил під кутом, коли рівнодійна де менша за кожну із складових.

2. Між якими границями змінюється рівнодійна двох сил і , прикладених до точки під кутом, залежно від величини кута.

Додавання кількох сил.

У техніці рідко мають справу тільки з двома силами. Різні частини споруд зазнають дії кількох сил у найрізноманітніших напрямах. Нехай на точку (рис. 52) діють не дві сили, а більше, наприклад, 4 сили: що лежать в одній площині.

Щоб знайти рівнодійну, треба додавати сили поступово. Тай спочатку додаємо за правилом паралелограма (рис. 53); дістанемо їх рівнодійну , далі додаємо до добутої сили дальшу складову ; маємо рівнодійну . Будуємо паралелограм на силах і ; знаходимо остаточно , що буде шуканою рівнодійною чотирьох даних сил: .

Із рис. 53 і 54 бачимо, що для знаходження рівнодійної можна і не малювати паралелограмів і т. д. Досить з кінця відрізка провести відрізок , рівний і паралельний до ; і з кінця провести рівний і паралельний до і т. д. Відрізок , що є замикаюча сторона многокутника побудованого на складових силах, і дасть рівнодійну цих сил.

Вправа.

1. Довести, що рівнодійна трьох рівних сил, напрямлених під кутом одна до,одної, дорівнює нулеві.

Зрівноважувальна сила.

Зробимо дослід, показаний на рис. 55. До двох динамометрів, що висять на гачках, прив'яжемо нитку, і через неї в точці перекинемо гачок з гирею.

На точку діють 3 сили: дві пружини динамометрів тягнуть точку вгору, а вага гирі тягне її вниз. Точка перебував в рівновазі.

Вага гирі зрівноважує натяг динамометрів і . Тому в даному прикладі силу називають зрівноважувальною силою, а сили і називають, як і раніше, складовими силами. Додавши їх за правилом паралелограма, матимемо діагональ що відповідає рівнодійній сил і .

Напрям вектора прямо протилежний напрямові зрівноважувальної сили і величиною вектор дорівнює векторові , Інакше ми не мали б рівноваги.

Отже, зрівноважувальна двох даних сил величиною дорівнює рівнодійній цих сил і напрямом прямо протилежна їй.

Отже, ми можемо знайти рівнодійну двох або кількох сил, якщо відома зрівноважувальна сила.

Для цього треба провести вектор протилежно зрівноважувальній силі і відкласти на ньому її величину.

Розклад сил.

Як дві сили, що діють на тіло під кутом одна до одної, можна замінити однією рівнодійною, так само одну силу, що діє на тіло, можна замінити двома або кількома силами, що так само діють, як і дана сила.

Хлопчик везе санки, натягаючи мотузку під кутом до горизонту (рис. 56). Санки рухаються не в напрямі прикладеної сили. Сила натягу мотузки розкладається на дві сили. Одна з цих сил напрямлена горизонтально і надає руху санкам, а друга напрямлена догори і підіймає передню частину санок.

У даному випадку, щоб розкласти сили, ми скористувалися правилом паралелограма, тільки дану силу ми вважали за діагональ паралелограма, а шукані сили — за сторони паралелограма.

Очевидно, питання розкладу сил на складові є питання неозначене, тому, що на одній діагоналі можна побудувати скільки завгодно різних пара­лелограмів. Тому в кожному випадку розкладу сил спочатку ніж будувати па­ралелограм, треба визначити, як мають бути напрямлені шукані сили, або яка повинна бути їх величина. Розглянемо ці питання на кількох прикладах.

Приклади розкладу сил.

1. Похила площина. По похило поставлених дошках викочують вгору важку бочку (рис. 57). Вага бочки на похилій площині розкладається на дві сили. Одна сила скочує бочку по похилій площині; вона напрямлена вздовж цієї площини. Друга сила притискує бочку до похилої площини; вона напрямлена перпендикулярно до цієї площини. Щоб знайти величину сил, на які розкладається вага бочки , треба побудувати паралелограм, одна сторона якого напрямлена паралельно з похилою площиною, а друга сторона — перпендикулярна до похилої площини. З точки проводимо лінію , паралельну з і лінію перпендикулярну до (рис. 57).

З точки проводимо лінії паралельні з і , тобто доповнюємо фігуру до паралелограма. Маємо вектори і , на які ми розкладали вагу тіла на похилій площині. Робітникам треба зрівноважити силу і тоді бочка не скотиться вниз. Сила менша від ваги отже, з допомогою похилої площини ми виграємо в силі.

Відшукаємо залежність вектора від вектора . Трикутники і подібні, вони прямокутні і, крім того, кути і утворені взаємно перпендикулярними сторонами; із подібності трикутників маємо:

Звідси:

Але відношення синусу кута нахилу а тому остаточно , тобто сила, напрямлена вздовж похилої площини, дорівнює вазі тіла, помноженій на синус кута нахилу.

2. Паперовий змій. Лінія (рис. 58) є площина паперового змія. Покажемо, що під час вітру утворюється підіймальна сила. Ми знаємо, що вітер тисне на поверхню змія. Сила тиску перпендикулярна до поверхні змія. Отже, сила тиску вітру на поверхню змія е вектор . Розкладемо його на два складові вектори: і . З них вектор є опір змія вітрові, а вектор — підіймальна сила. Сила тільки частково врівноважується вагою змія, решту йде на підіймання.

Вправи.

1. На двох однакових завдовжки тросах висить тягар 50 кг. Кут між трасами . Знайти сили, що тримають тягар.

2. Визначити сили, що тримають тягар 50 кг, якщо кут між рівними довжиною тросами дорівнює: а) 45 ; б) 120 ; в) .

3. Чи може бути такий випадок, що рівнодійна дорівнює 30 кг, а дві складові сили — по 10 кг кожна.

Додавання паралельних сил.

Нехай ми маємо дві паралельні сили і , напрямлені в один бік і прикладені до тіла в точках і (рис. 61). Треба знайти їх рівнодійну силу (тобто визначити її напрям, величину і точку прикладання).

Отже, рівнодійна двох паралельних сил і дорівнює їх сумі і напрямлена паралельно з даними силами. Точку її прикладання переносимо в . Із подібності трикутників і напишемо:

а з подібності трикутників і маємо:

Поділивши одну пропорцію на другу і відзначивши, що , дістанемо: Але Підставивши ці значення в написану пропорцію, отримаємо остаточно:

тобто точка прикладання рівнодійної паралельних сил і лежить від точок і на відстанях, обернено пропорційних складовим силам і

Вправи.

5. Терези зрівноважені. Вага кожної шальки і важка по 2 кг. Довжина коромисла терезів 40 см. Подати графічно сили й плечі, показавши складові сили і зрівноважувальну силу (опір підставки).

6. Дано паралельні сили: 40 кг, = 60 кг. Відстань між ними дорівнює 50 см. Побудувати у відповідному масштабі рівнодійну.

7. На кінцях стрижня завдовжки 1 м є тягарі на 80 кг і 20 кг. Визначити, в якому місці треба підперти стрижень, щоб мати рівновагу. Розв'язати задачу обчисленням і побудувати сили на папері

8. Дано паралельні сили: = 100 кг, = 300 кг, відстань між ними 40 см. Визначити рівнодійну і точку її прикладання. Розв'язати обчисленням і побудувати графічно.